Çarpımsal Kalkülüs: Matematikte Bir Alternatif

Giriş

Klasik kalkülüs, Newton ve Leibniz’in 17. yüzyılda temellerini attığı, türev ve integral kavramları üzerine kurulu,
bugün mühendislikten fiziğe, ekonomiden veri bilimine kadar sayısız alanda kullanılan güçlü bir araçtır.
Bu kuramın merkezinde farklar vardır: Bir niceliğin ne kadar arttığı veya azaldığı,
yani toplama ve çıkarma üzerinden ölçülen değişim.

Oysa gerçek hayatta pek çok süreç, farklarla değil oranlarla işler. Bir yatırımın her yıl yüzde kaç
büyüdüğü, bir popülasyonun kaç kat arttığı, bir kimyasal sürecin logaritmik ölçekte nasıl davrandığı gibi sorular,
katlanma mantığıyla açıklanır. İşte çarpımsal kalkülüs (multiplicative calculus),
tam da bu oransal ve üstel davranışları daha doğal bir dille ifade etmek için geliştirilen alternatif bir analiz sistemidir.

Kısa Tarihçe

1967–1970 yılları arasında Michael Grossman ve Robert Katz, klasik kalkülüsü yeniden düşünerek,
toplama-çıkarma yerine çarpma-bölme ve üstel işlemleri temel alan yeni analiz türleri tanımladılar.
1972 tarihli Non-Newtonian Calculus kitaplarında, klasik kalkülüsün yanında
geometrik (çarpımsal), bigeometrik, harmonik ve
kuadratik gibi birçok yeni kalkülüs türünü sistematik biçimde ortaya koydular.

Dick Stanley’nin 1999 tarihli A Multiplicative Calculus makalesi, bu yaklaşımı eğitim ve uygulama bağlamında
yeniden gündeme taşıdı. Stanley, üstel fonksiyonların çarpımsal kalkülüs içinde tıpkı doğrusal fonksiyonların klasik
kalkülüsteki gibi “doğal” davrandığını gösterdi: Klasik türev sabit bir artış miktarı verirken,
çarpımsal türev sabit bir katlanma oranı verir.

Türkiye’de ise Numan Yalçın ve Mutlu Dedetürk’ün “Çarpımsal (Geometrik) Analize Giriş” çalışması, bu kuramı
Türkçe literatüre kazandırarak hem kuramsal çerçeveyi hem de uygulama alanlarını erişilebilir hale getirmiştir.

Çarpımsal Türev Nedir?

Klasik türev, bir fonksiyonun küçük adımlardaki değişimini fark üzerinden tanımlar:

f'(x) = lim (h → 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Çarpımsal türev ise farkı oranla, bölmeyi ise üs alma işlemiyle değiştirir:

f*(x) = lim (h → 0) ( f(x + h) / f(x) )^(1/h)

Bu ifade, “f(x) değeri, x noktasında sonsuz küçük bir adımda kaç kat değişiyor?” sorusunun cevabıdır.
Yani çarpımsal türev, mutlak artışı değil, yüzdesel/katlanmalı değişimi ölçer.

Pozitif ve türevlenebilir fonksiyonlar için Bashirov ve arkadaşlarının gösterdiği temel ilişki şudur:

f*(x) = e^( f'(x) / f(x) )

Böylece klasik türev (additif değişim) ile çarpımsal türev (oransal değişim) arasında doğrudan bir köprü kurulur.

Neden Çarpımsal Kalkülüse İhtiyaç Var?

Çarpımsal kalkülüs, yalnızca pozitif fonksiyonlarla çalışır; bu bir sınırlama gibi görünse de aslında pek çok
uygulamada tam da ihtiyacımız olan şeydir. Çünkü:

• Finans ve Ekonomi: Bileşik faiz, enflasyon, yatırım getirisi gibi süreçler farklarla değil,
  “her yıl % kaç arttı?”, “bu dönem kaç kat büyüdü?” sorularıyla ifade edilir. Çarpımsal türev, bu bağlamda
  daha doğal bir matematiksel dil sunar.
• Doğa Bilimleri ve Biyoloji: Nüfus artışı, radyoaktif bozunma, kimyasal reaksiyon hızları,
  genellikle üstel veya oransal değişim gösterir. Bu süreçlerin analizi için çarpımsal yaklaşım uygundur.
• Mühendislik ve Görüntü İşleme: Sinyal gücü, parlaklık, kontrast ve logaritmik ölçekler üzerinden
  çalışan sistemlerde oransal değişim daha anlamlıdır.

Kısacası, değişimin “kaç birim arttı?” değil de “kaç kat arttı?” diye sorulduğu her yerde çarpımsal kalkülüs,
klasik kalkülüsün yanına yerleştirilebilecek güçlü bir tamamlayıcıdır.

Basit Bir Örnek: Bileşik Faiz ve Çarpımsal Türev

Diyelim ki yatırımınız zamanla
f(t) = e^{0.05 t} fonksiyonuna göre büyüyor.

• Klasik türev: f'(t) = 0.05 e^{0.05 t} → her an için “eklenen miktar”.
• Çarpımsal türev:
  f*(t) = e^{ f'(t) / f(t) } = e^{0.05} ≈ 1.05127
  → her birim zamanda yaklaşık %5.127 kat büyüme faktörü.

Yani klasik türev “her yıl ne kadar para eklendiğini” söylerken,
çarpımsal türev “her yıl kaçla çarpıldığını” söyler. Finans ve ekonomi dili düşünüldüğünde,
bu ikinci bakış çoğu zaman daha sezgiseldir.

Geometrik ve Bigeometrik Kalkülüs

Grossman ve Katz’ın geliştirdiği “non-Newtonian calculus” yalnızca tek bir alternatiften ibaret değildir.
Çeşitli aritmetik yapılar üzerine kurulmuş birden fazla kalkülüs tanımlarlar:
geometrik (çarpımsal), bigeometrik, harmonik, kuadratik vb.

Geometrik kalkülüs, değişimi oranlarla ölçerken,
bigeometrik kalkülüs bu yapıyı “ölçekten bağımsız” hale getirir:
birim seçiminin sonucu etkilemediği, özellikle mühendislik ve doğa bilimlerinde kullanışlı bir türev kavramı sunar.

Bu aile, tek bir doğru cevabın olmadığı bir yaklaşımı hatırlatır:
Farklı türden değişimler için farklı türden kalkülüsler seçilebilir.
Newtonyen kalkülüs bu resimde çok başarılı bir üye, ama tek üye değildir.

Sonuç: Alternatif Bir Matematik Dili

Çarpımsal kalkülüs, klasik kalkülüsü “yanlışlamak” için değil,
onu tamamlamak için ortaya çıkmış bir çerçevedir.
Klasik analiz farklara ve doğrusal yaklaşıklıklara mükemmel uyum sağlarken,
çarpımsal analiz oranlara ve üstel süreçlere daha doğal bir bakış sunar.

Ekonomi, biyoloji, veri bilimi, görüntü işleme ve mühendislikte
oransal değişimlerin giderek daha merkezi hale geldiği günümüzde,
bu alternatif dilin yeniden hatırlanması, hem eğitim hem de araştırma açısından
zengin bir ufuk açma potansiyeline sahiptir.

Kaynakça

1. Bashirov, A. E., Kurpınar, E. M., & Özyapıcı, A. (2008).
   Multiplicative calculus and its applications.
   Journal of Mathematical Analysis and Applications, 337(1), 36–48.
2. Stanley, D. (1999).
   A Multiplicative Calculus.
   PRIMUS: Problems, Resources, and Issues in Mathematics Undergraduate Studies, 9(4), 310–326.
3. Grossman, M., & Katz, R. (1972).
   Non-Newtonian Calculus. Kepler Press.
4. Yalçın, N., & Dedetürk, M. (2022).
   Çarpımsal (Geometrik) Analize Giriş.
5. Grossman, M. (1983).
   Bigeometric Calculus: A System with a Scale-Free Derivative. Kepler Press.